Воспитанник ДЮСШ им. Горпинка (Полтава). В чемпионате ДЮФЛ провел 54 матча, забил 6 голов. 7 апреля 2004 года дебютировал во Второй лиге Украины, выйдя на замену в матче «Днепр-2» - «Ворскла-2». В Высшей лиге Украины впервые сыграл 29 августа 2004 года. Чижов появился в основном составе «Ворсклы» в гостевом поединке против «Закарпатья», однако уже на 12-й минуте был заменен на Владимира Олефира. Свой первый гол за «Ворсклу» Чижов забил 9 апреля 2006 года в ворота «Кривбасса», а основным игроком команды стал лишь в концовке сезона 2006-2007 гг.
Летом 2008 года Чижова выкупил донецкий «Шахтер». Сумма трансфера составила около миллиона долларов. В составе «горняков» Александр дебютировал 8 августа в матче против «Днепра» (0:0). В Донецке защитник провел четыре сезона. За это время он трижды становился чемпионом Украины, дважды обладателем Кубка Украины, обладателем Суперкубка Украины и Кубка УЕФА. Кроме того, в составе «Шахтера» Чижов дебютировал в Лиге Чемпионов.
В своем последнем сезоне за «горняков» Александра не часто видели на поле. В чемпионате Украины он отыграл два полных матча против своей бывшей команды – полтавской «Ворсклы», а также вышел на замену в матче с «Волынью». Кроме того, защитник провел две встречи в Лиге Чемпионов.
Летом 2012 года Чижов на правах аренды перешел в «Ильичевец». В составе азовцев дебютировал 12 июля в матче против «Металлиста». 28 июня 2013 года перешел в ФК «Севастополь».
Поздравляем именинника! Желаем личных и профессиональных успехов!