Бонус 10 000 грн Воспитанник сербской "Црвены Звезды". Профессиональную карьеру начинал в македонском клубе "Беласица". За два сезона в клубе сыграл 55 матче, забил 11 мячей.
Летом 2007 года Душан перешел в другой македонкий клуб - "Победа". За клуб сыграл 27 матчей, забил 16 мячей. Вместе с командой стал чемпионом Македони. После успешного сезона в "Победе" Савич прешел в более именитый клуб страны - "Вардар". За сезон сыграл 21 матч, забил 4 мяча.
Спустя год перешел в известный макежонский клуб "Работнички". Был игроком основного состава. За два сезона в клубе сыграл 77 матчей, забил 30 мячей. В 2009 году вместе с командой стал обладателем Кубка Македонии. Втрех последних клубах получил опыт игр в еврокубках.
Зимой 2010 года Савич перешел в румынский "Брашов". Сыграл за клуб 10 матчей, забил 2 мяча. Летом этого же года перебрался в Южную Корею, в клуб "Инчеон Юнайтед". Заиграть в корейском чемпионате не получилось и уже зимой Душан перешел в узбекский "Пахтакор". За ташкентский клуб сыграл 13 матчей, забил 7 мячей. Летом вернулся в "Работнички".
Зимой 2012 года, после просмотра, Савич подписал 3-летний контракт с луцкой "Волынью". 3 марта 2012 года дебютировал в Премьер-лиге, в матче "Александрия" - "Волынь" (0:1). В следующем своем матче забил свой первый мяч в украинском футболе. Случилось это в матче "Металлург" (Донецк) - "Волынь", который закончился победой лучан со счетом 3:0.
С лета 2013 года выступает за ужгородскую "Говерлу".
С 2007 по 2011 год выступал за сборную Македонии. Дебютный матч сыграл 22 августа 2007 года против сборной Нигерии (0:0). Всего за сборную сыграл 8 матчей.
